Pola Bilangan : Barisan dan Deret Bilangan

بِسْــــــــــــــــــمِ اﷲِالرَّحْمَنِ اارَّحِيم

السَّلاَمُ عَلَيْكُمْ وَرَحْمَةُ اللهِ وَبَرَكَاتُهُ

Selamat pagi  anak-anak....

Sekarang bertemu lagi dengan pelajaran matematika. Sebelum mulai marilah kita berdoa terlebih dahulu agar kita diberikan kemudahan dan kelancaran dalam memahami materi yang akan kita pelajari.

Kali ini kita akan belajar tentang barisan dan deret Aritmatika. Dari materi ini kita akan mengetahui bagaimana caranya menemukan suatu bilangan pada urutan yang ditanyakan.

Mulai sekarang bapak tidak akan menggunakan absen kehadiran peserta didik tetapi siapa yang mengirimkan tugas berarti dianggap hadir.

demikian pembuka untuk kali ini silahkan kalian pelajari materi dibawah ini.

LK 1.5 Menentukan Persamaan dari Suatu Konfigurasi Objek

Mapel : Matematika

Kelas : VIII

Materi : Barisan dan Deret Bilangan

Barisan Bilangan

Perhatikan pola bilangan-bilangan berikut:

2, 4, 6, 8

Jika kamu perhatikan, bilangn-bilangan diatas disusun mengikuti pola tertentu. Bilangn-bilangan tersebut disebut barisan bilangan. Adapun setiap bilangan dalam barisan bilangan disebut suku barisan. Suku pada barisan bilangan 2, 4, 6, 8, diperoleh

U1 = suku ke-1 = 2

U2 = suku ke-2 = 4

U3 = suku ke-3 = 6 

U4 = suku ke-4 = 8

Jadi, barisan bilangan 2, 4, 6, 8 memiliki 4 buah suku

Contoh soal

Diketahui barisan bilangan 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15.

a. Tentukan banyaknya suku barisan dalam barisan bilangan tersebut.

b. Sebutkan satu persatu suku yang dimaksud

Penyelesaian :

a. Terdapat 8 suku barisan dalam barisan bilangan tersebut.

b. U­₁ =1                          U₅ =9

U₂ =3                          U₆ =11

U₃ =5                          U₇ =13

U₄ =7                          U₈ =15

Jadi, barisan bilangan adalah susunan bilangan yang di urutkan menurut aturan tertentu. Bentuk umum barisan bilangan adalah U₁, U₂, U₃, ……. U_n. Setiap unsur pada bilangan di atas disebut suku barisan. Suku ke-n dari suatu barisan ditulis dengan simbol U_n (n bilangan asli). Dengan demikian, U₁ disebut suku pertama, U₂ disebut suku kedua , dan U_n disebut suku ke-n. Berdasarkan polanya, barisan bilangan dibagi menjadi 2 bagian, barisan aritmatika (barisan hitung) dan barisan geometri (barisan ukur). Agar kamu lebih memahaminya, perhatikan uraian berikut ini.

1. Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika (barisan hitung) adalah barisan bilangan yang mempunyai beda atau selisih yang tetap antara dua suku barisan yang berurutan. Perhatikan uraian berikut. Barisan aritmatika merupakan suatu barisan bilangan, dengan setiap dua suku yang berurutan memiliki selisih tetap (konstan). Selisih yang tetap ini dilambangkan b.

Diketahui barisan bilangan:

Barisan bilangan tersebut memiliki beda atau selisih 3 antara dua suku barisan yang berurutan. Berarti, barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmatika.

Diketahui barisan bilangan:

Barisan bilangan tersebut memiliki beda atau selisih yang tetap antara 2 suku barisan yang berurutan, yaitu -4. Berarti, barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmatika.

Dari uraian tersebut, dapat disimpulkan bahwa barisan aritmatika memiliki beda (sering dilambangkan dengan b) yang tetap. Jika b bernilai positif maka barisan aritmatika itu dikatakan barisan aritmatika naik. Sebaliknya, jika b bernilai negative maka barisan aritmatika itu dikatakan barisan aritmatika turun.

Contoh soal

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut:

a. 30, 32, 34, 36, 38, …

b. 18, 15, 12, 9, 6, 3, …

Penyelesaian:

Merupakan barisan aritmatika naik karena bedanya 2

Merupakan barisan aritmatika turun karena bedanya -3

Kamu telah memahami barisan aritmatika naik dan turun. Sekarang, bagaimana cara mencari salah satu suku barisan jika yang diketahui hanya suku pertama dan bedanya saja? Bagaimana mencari beda jika yang diketahui hanya suku pertama dan satu suku barisan yang lain? Untuk menjawabnya, pelajarilah uraian berikut.

Diketahui barisan bilangan aritmatika sebagai berikut.

U₁, U₂, U₃, U₄, U₅, U₆,..., U_n-1, U_n
Dari barisan tersebut diperoleh
U₁ = a (suku pertama dilambangkan dengan a)
U₂ = U1 + b = a + b
U₃ = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b
U₄ = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b
U₅ = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b
U₆ = U4 + b + (a + 4b) + b = a + 5b
. .
U_n = U_n-1 + b = (a + (n – 2) b) + b = a + (n - 1) b

Jadi, rumus ke-n barisan aritmatika dapat ditulis sebagai berikut:

Untuk mencari beda dalam suatu barisan aritmatika, coba kamu perhatikan uraian berikut.
U₂ = U₁ + b maka b = U₂ – U₁
U₃ = U₂ + b maka b = U₃ – U₂
U₄ = U₃ + b maka b = U₄ – U₃
U₅ = U₄ + b maka b = U₅ – U₄
. . .
U_n = U_n-1 + b maka b = U_n – U_n-1

Atau beda sama dengan suku sesudah dikurang suku sebelum

Jadi, beda suatu barisan aritmatika dinyatakan sebagai berikut.

Contoh Soal:
Diketahui barisan aritmatika sebagai berikut.
10, 13, 16, 19, 22, 25, … Tentukan:
a.      Jenis barisan aritmatikanya
b.      Suku kedua belas barisan tersebut.
Penyelesaian:
Penyelesaian:
a.      untuk menentukan jenis barisan aritmatika, tentukan nilai beda pada barisan tersebut.

Oleh karena b>0, barisan aritmatika tersebut merupakan barisan aritmatika naik.
b.      untuk mencari suku kedua belas (U₁₂), dilakukan cara sebagai berikut.
Dari barisan 10, 13, 16, 19, 22, 25, … dapat diketahui sbb:
Suku ke-1 = U₁ = a = 10
Beda = b = U₂ – U₁ = 13 – 10 = 3
Jadi


Jadi, suku ke-12 barisan tersebut adalah 43

Begitupun mencari suku yang lainnya dan agar lebih mengerti dapat kalian coba menetukan suku suku yang lainnya.
 

Contoh Soal

Dari barisan bilangan aritmatika 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65 tentukan:
a.      Tentukan banyaknya suku barisan dalam barisan bilangan tersebut.
b.      Sebutkan satu persatu suku yang dimaksud
c.      Suku Pertama (a)
d.      Suku (b)
e.      Rumus suku ke-n (U_n) barisan aritmatika tersebut
f.       Suku ke 24 (U₂₄)
g.      Bilangan 100 terdapat pada suku ke?

Jawab:
a.  Terdapat 12 bilangan pada barisan bilangan tersebut.
b.  U­₁ = 10                            U₇ = 40
    U₂ = 15                            U₈ = 45
    U₃ = 20                            U₉ = 50
    U₄ = 25                            U₁₀ = 55
    U₅ = 30                            U₁₁ = 60
    U₆ = 35                            U₁₂ = 65
c. Suku Pertama (a)
    a= 10

d.  Beda (b)
    b = U_n - U_n-1
    b = U₂ – U_2-1
    b = U₂ – U₁
    b= 15 – 10
    b= 5
    Atau Suku sesudah dikurang suku sebelum, misal
    b= U₈ – U₇ (U_{8 ­}Suku Sesudah dan U₇ Suku Sebelum)
    b= 45 – 40
    b= 5
    Jadi beda dari barisan tersebut adalah 5
e.  Rumus suku ke-n (U_n)
Rumus Umum Bilngan Aritmatika


f.   Suku ke 24 (U₂₄)
Gunakan rumus suku ke-n yang sudah didapatkan


Jadi Suku ke 24 pada barisan aritmatika tersebut adalah 125.

g. Bilangan100 terdapat pada suku ke
  

Jadi bilangan 100 terdapat pada suku ke-19

Penjumlahan Barisan Bilangan

Perhatikan barisan bilangan 3, 7, 11, 15, 19, 23, …. , 63 !

Untuk menentukan hasil penjumlahan bilangan yang susunannya teratur atau berpola seperti barisan bilangan diatas dapat dilakukan dengan cara yang ditemukan oleh Karl F. Gauss, seorang matematikawan termasyhur berkebangsaan Jerman.

Menemukan Jumlah bilangan Model Gauss

Jumlah bilangan pada barisan bilangan yang beda atau selisih antarsukunya sama adalah :

Pada barisan bilangan 3, 7, 11, 15, 19, 23, …. , 63. Sudah kita ketahui bahwa:

Suku pertama (U­₁)=(a)= 3

Suku Terakhir (Un) = 63

Selisih bilangan antar suku (b) = U₂ - U₁ = 7 – 3 = 4

Banyak Bilangan (n)=….

Maka dari itu kita akan mencari banyak bilangan yang akan dijumlahkan.

3 + 7 + 11 + 15 + 19 + 23 + ….  + 63

Caranya yaitu :

Menentukan banyak bilangan

Kita akan mencari suku terakhir yaitu 63 berada pada urutan bilangan ke berapa.

gunakan rumus mencari suku ke-n pada barisan bilangan aritmatika

Un = a + (n – 1) b --> rumus suku ke-n barisan bilangan aritmatika

63 = 3 + (n – 1) 4  ---> masukan Un menjadi 63, a menjadi 3 dan b menjadi 4

63 = 3 + 4n – 4         --> hasil kali (n – 1) 4

63 = 3 – 4 + 4n         --> bilangan yang tidak ada variabelnya diurutkan

63 = -1 + 4n

63 + 1 = 4n   --> Karena ( -1 ) pindah ruas maka menjadi positif (+1)

64 = 4n

16 = n atau n = 16 --> 16 adalah hasil bagi dari 16/4

Jadi, banyak bilangan pada barisan diatas adalah 16

Dengan demikian hasil penjumlahan  3 + 7 + 11 + 15 + 19 + 23 + ….  + 63 adalah

Jadi Jumlah barisan bilangan diatas sampai suku ke-16 adalah 528

 

Agar kalian lebih mengerti perhatikan contoh berikut

Contoh:
Tentukan hasil penjumlahan bilangan pada barisan 5, 11, 17, 23, …. , 131
 
Jawab:
Menentukan banyak bilangan pada barisan diatas
Diketahui:
U₁ (a) = 5
Beda (b) = U₂ - U₁ = 11 – 5 = 6
Un = 131
 
Un = a + (n – 1) b --> rumus suku ke-n barisan bilangan aritmatika
131 = 5 + (n – 1) 6  --> Un diganti 131, a diganti 5 dan b diganti 6
131 = 5 + 6n – 6 
131 = 6n + 5 - 6  
131 = 6n - 1
131 + 1 = 6n         --> Karena ( -1 ) pindah ruas maka menjadi positif (+1)
132 = 6n

22 = n atau n =22
Jadi, banyak bilangan pada barisan tersebut adalah 22
 
Menentukan jumlah bilangan

Jadi, jumlah bilangan pada barisan tersebut adalah 1496

Pola Barisan Bilangan Geometri

Pada pola bilangan geometri, suatu bilangan merupakan hasil perkalian bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan yang tetap.

Berbeda dengan barisan aritmetika, selisih antarsuku barisan disebut rasio (dilambangkan dengan r). Artinya, suku barisan ditentukan oleh perkalian atau pembagian oleh suatu bilangan tetap dari suku barisan sebelumnya.

Pelajari uraian berikut.

Diketahui barisan bilangan sebagai berikut.

Barisan bilangan tersebut memiliki rasio yang tetap, yaitu 2 atau r = 2. Berarti, barisan tersebut merupakan barisan geometri.

Diketahui barisan bilangan sebagai berikut.

Barisan bilangan tersebut memiliki rasio yang tetap, yaitu  Berarti, bilangan tersebut merupakan barisan geometri.

Uraian tersebut memperjelas bahwa barisan geometri memiliki rasio tetap.

Jika r bernilai lebih besar dari 1, barisan geometri tersebut merupakan barisan geometri naik. Adapun jika r lebih kecil dari 1, barisan geometri tersebut merupakan barisan geometri turun.

Contoh Soal Barisan Geometri

Tentukan apakah barisan bilangan geometri berikut merupakan barisan geometri naik atau turun.

Rumus Barisan Geometri

Sekarang, coba kamu perhatikan barisan bilangan geometri berikut.

Dari barisan tersebut diperoleh

Jadi, untuk mencari suku ke-n barisan geometri digunakan rumus sebagai berikut.

Untuk mencari rasio dalam suatu barisan geometri, perhatikan uraian berikut.

Jadi, rasio pada barisan geometri dapat dinyatakan sebagai berikut.

Rangkuman Barisan bilangan geometri

Contoh Soal Barisan Geometri

Berikut ini merupakan contoh barisan geometri;

1. Tentukan Suku Pertama, Rasio dan Suku ke 10 dari barisan bilangan berikut

a. 5, 10, 20, 40, 80, …..
Jawab:

Suku Pertama (a)= 5

 

b. 3, 9, 27, 81, ….
Jawab : 

Suku Pertama (a)= 3